Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{4 x} \ln (x^{4})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{4 x}$ et $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{4}$ .

$e^{4 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{4 x} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{4}$ .

$e^{4 x} (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{x^{4}}$ et $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{e^{4 x}}{x^{4}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Associez $4$ et $\frac{e^{4 x}}{x^{4}}$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x^{4}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{4 e^{4 x}}{x^{4}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x^{3}}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 e^{4 x} x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 3.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} \cdot 4)$

Étape 5.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (4 \cdot e^{4 x})$

Étape 5.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 e^{4 x} \ln (x^{4}) + \frac{4 e^{4 x}}{x}$