Calcul infinitésimal Exemples

$y = arcsec (5 x^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arcsec (x)$ et $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $arcsec (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{5 x^{2} \sqrt{{(5 x^{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{5 x^{2} \sqrt{{(5 (x^{2}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $5 (x^{2})$ .

$\frac{1}{5 x^{2} \sqrt{5^{2} {(x^{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{5 x^{2} \sqrt{25 {(x^{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5 x^{2} \sqrt{25 x^{2 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{5 x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5 x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.4.1

Associez $5$ et $\frac{1}{5 x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}}$ .

$\frac{5}{5 x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{5 x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}} (2 x)$

Étape 2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 2.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}}$ .

$\frac{2}{x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}} x$

Étape 2.6.2

Associez $\frac{2}{x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}}$

Étape 2.6.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.6.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}}$

Étape 2.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \sqrt{25 x^{4} - 1}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x (x \sqrt{25 x^{4} - 1})}$

Étape 2.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2}{x (x \sqrt{25 x^{4} - 1})}$

Étape 2.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x \sqrt{25 x^{4} - 1}}$