Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec^{3} (2 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (2 x)$ .

$3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$3 (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 {\sec (2 x)}^{1 + 2} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 5

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 \sec^{3} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Étape 9

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$