Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\sin (3 x)}{\tan (x)}$

Étape 1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}]$

Étape 3

Convertissez de $\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ à $\sin (3 x) \cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cot (x)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (3 x)$ et $g (x) = \cot (x)$ .

$\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 6.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Étape 7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) \cdot 3$

Étape 7.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\cot (x) \cos (3 x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + 3 \cdot (\cot (x) \cos (3 x))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Étape 8.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Étape 8.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Étape 8.2.4

Associez $\sin (3 x)$ et $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Étape 8.2.5

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 8.2.6

Multipliez $3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 8.2.6.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $3$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (3 x)$

Étape 8.2.6.2

Associez $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ et $\cos (3 x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.2.7

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.2

Séparez les fractions.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.3

Réécrivez $\frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}$ comme un produit.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.4

Écrivez $\sin (3 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.5

Simplifiez

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Étape 8.3.5.1

Divisez $\sin (3 x)$ par $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$- (\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.7

Multipliez $\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))$ .

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Étape 8.3.7.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.7.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- ({\csc (x)}^{1 + 1} \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (\csc^{2} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.8

Séparez les fractions.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 8.3.9

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cot (x)$

Étape 8.3.10

Divisez $3 \cos (3 x)$ par $1$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$