Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\tan (2 x) - e^{x}}{3 x - 4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \tan (2 x) - e^{x}$ et $g (x) = 3 x - 4$ .

$\frac{(3 x - 4) \frac{d}{d x} [\tan (2 x) - e^{x}] - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (2 x) - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(3 x - 4) (\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{(3 x - 4) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \cdot \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 6

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 6.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 6.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 6.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 + 0)}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) \cdot 3}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 6.6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 (\tan (2 x) - e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Développez $(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x)) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x)) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 \cdot 2 x \sec^{2} (2 x) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) + 3 \cdot - 1 x e^{x} - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 4 e^{x} - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 4 e^{x} - 3 \tan (2 x) + 3 e^{x}}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Additionnez $4 e^{x}$ et $3 e^{x}$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 7 e^{x} - 3 \tan (2 x)}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 e^{x} x + 7 e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) - 3 \tan (2 x)}{{(3 x - 4)}^{2}}$