Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Étape 3.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 4.2

Additionnez $2 \cos (x) \sin (x)$ et $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x)$