Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arcsin (\frac{3}{x^{2}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = \frac{3}{x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arcsin (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Étape 2.2

Associez les fractions.

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Étape 2.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.1

Associez $- 2$ et $\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} x^{- 3}$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} x^{- 3}$

Étape 2.4.3

Associez $\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ et $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}} x^{3}}$

Étape 2.4.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}} x^{3}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{x^{2}}$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3^{2}}{{(x^{2})}^{2}}} x^{3}}$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{{(x^{2})}^{2}}} x^{3}}$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{x^{2 \cdot 2}}} x^{3}}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{x^{4}}} x^{3}}$