Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{1 - x^{2}} \arcsin (x)$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \arcsin (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \arcsin (x)$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

La dérivée de $\arcsin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Associez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 10

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 10.3

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 10.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $\arcsin (x)$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 12

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 13

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Étape 16

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Étape 16.2

Associez $- 2$ et $\frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 16.3

Associez $\frac{- 2 \arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arcsin (x) x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \arcsin (x) x$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- \arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Pour écrire $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Pour écrire $- \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Multipliez $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.7

Multipliez $\frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 21.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Étape 21.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 21.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 21.12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 23

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 23.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 23.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 23.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{1} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 24

Simplifiez ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 25

Simplifiez

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Étape 26

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1^{2} - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Étape 26.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

Étape 26.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{1 - x^{2} - x \arcsin (x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

Étape 26.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \arcsin (x) + 1}{- x^{2} + 1}$