Calcul infinitésimal Exemples

$y = \log_{5} (\sqrt{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5)}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5)}}$ comme ${(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\frac{\ln (5)}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\frac{\ln (5)}{2}})]$

Étape 2

Réécrivez $\frac{\ln (5)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (5)$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\frac{1}{2} \ln (5)})]$

Étape 3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (5)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})})]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{5} (x)$ et $g (x) = {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}]$

Étape 4.2

La dérivée de $\log_{5} (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}]$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}$ et $g (x) = \frac{7 x}{3 x + 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{7 x}{3 x + 2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}] \frac{d}{d x} [\frac{7 x}{3 x + 2}])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \ln (5^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {u_{2}}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} \frac{d}{d x} [\frac{7 x}{3 x + 2}])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{7 x}{3 x + 2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} \frac{d}{d x} [\frac{7 x}{3 x + 2}])$

Étape 6

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7 x}{3 x + 2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 2}]$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 2}]))$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 3 x + 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{(3 x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8.2

Multipliez $3 x + 2$ par $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{3 x + 2 - x \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{3 x + 2 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{3 x + 2 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{3 x + 2 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{3 x + 2 - x (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{3 x + 2 - x (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8.8

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{3 x + 2 - x \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{3 x + 2 - 3 x}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8.8.3

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{0 + 2}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8.8.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} (7 \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}}))$

Étape 8.8.5

Associez $7$ et $\frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} \frac{7 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}})$

Étape 8.8.6

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\ln (5^{\frac{1}{2}}) {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} \frac{14}{{(3 x + 2)}^{2}})$

Étape 8.8.7

Associez $\frac{14}{{(3 x + 2)}^{2}}$ et $\ln (5^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{{(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}} {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1})$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7 x}{3 x + 2}$ .

$\frac{1}{\frac{{(7 x)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}} \ln (5)} (\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}} {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1})$

Étape 9.2

Appliquez la règle de produit à $7 x$ .

$\frac{1}{\frac{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}} \ln (5)} (\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}} {(\frac{7 x}{3 x + 2})}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1})$

Étape 9.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{7 x}{3 x + 2}$ .

$\frac{1}{\frac{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}} \ln (5)} (\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(7 x)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}})$

Étape 9.4

Appliquez la règle de produit à $7 x$ .

$\frac{1}{\frac{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}} \ln (5)} (\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}})$

Étape 9.5

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1

Associez $\frac{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}$ et $\ln (5)$ .

$\frac{1}{\frac{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}} (\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}})$

Étape 9.5.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}$ .

$1 \frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}})$

Étape 9.5.3

Multipliez $\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)}$ par $1$ .

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}})$

Étape 9.5.4

Placez $7^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} \cdot 7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}})$

Étape 9.5.5

Placez $x^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} \cdot 7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}})$

Étape 9.5.6

Placez ${(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} (\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}})$

Étape 9.5.7

Multipliez $\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2}}$ par $\frac{{(3 x + 2)}^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}}$ .

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} \cdot \frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}}) {(3 x + 2)}^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}}{{(3 x + 2)}^{2} (7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)})}$

Étape 9.5.8

Placez ${(3 x + 2)}^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} \cdot \frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{2} \cdot 7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)} {(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}}$

Étape 9.5.9

Multipliez ${(3 x + 2)}^{2}$ par ${(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.9.1

Déplacez ${(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1}$ .

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} \cdot \frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1} {(3 x + 2)}^{2} \cdot 7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}}$

Étape 9.5.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} \cdot \frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1 + 2} \cdot 7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}}$

Étape 9.5.9.3

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)} \cdot \frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) + 1} \cdot 7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}}$

Étape 9.5.10

Multipliez $\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5)}$ par $\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) + 1} \cdot 7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)}}$ .

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} (14 \ln (5^{\frac{1}{2}}))}{7^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5) ({(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) + 1} \cdot 7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)})}$

Étape 9.5.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} (14 \ln (5^{\frac{1}{2}}))}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5) ({(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) + 1} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1)})}$

Étape 9.5.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} (14 \ln (5^{\frac{1}{2}}))}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5) {(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) + 1}}$

Étape 9.5.13

Déplacez $14$ à gauche de ${(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}$ .

$\frac{14 \cdot {(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5^{\frac{1}{2}})}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5) {(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) + 1}}$

Étape 9.5.14

Placez ${(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}})}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5) {(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) + 1} {(3 x + 2)}^{- \ln (5^{\frac{1}{2}})}}$

Étape 9.5.15

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.15.1

Multipliez ${(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) + 1}$ par ${(3 x + 2)}^{- \ln (5^{\frac{1}{2}})}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.15.1.1

Déplacez ${(3 x + 2)}^{- \ln (5^{\frac{1}{2}})}$ .

$\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5) ({(3 x + 2)}^{- \ln (5^{\frac{1}{2}})} {(3 x + 2)}^{\ln (5^{\frac{1}{2}}) + 1})}$

Étape 9.5.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5) {(3 x + 2)}^{- \ln (5^{\frac{1}{2}}) + \ln (5^{\frac{1}{2}}) + 1}}$

Étape 9.5.15.1.3

Additionnez $- \ln (5^{\frac{1}{2}})$ et $\ln (5^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5) {(3 x + 2)}^{0 + 1}}$

Étape 9.5.15.1.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5) {(3 x + 2)}^{1}}$

Étape 9.5.15.2

Simplifiez $7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5) {(3 x + 2)}^{1}$ .

$\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} \ln (5) (3 x + 2)}$

Étape 9.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{14 \ln (5^{\frac{1}{2}})}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} (3 x + 2) \ln (5)}$

Étape 9.7

Développez $\ln (5^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{14 (\frac{1}{2} \ln (5))}{7^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} (3 x + 2) \ln (5)}$

Étape 9.8

Développez $\ln (5^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{14 (\frac{1}{2} \ln (5))}{7^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} (3 x + 2) \ln (5)}$

Étape 9.9

Développez $\ln (5^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{14 (\frac{1}{2} \ln (5))}{7^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} x^{- (\ln (5^{\frac{1}{2}}) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} (3 x + 2) \ln (5)}$

Étape 9.10

Développez $\ln (5^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{14 (\frac{1}{2} \ln (5))}{7^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} x^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \ln (5^{\frac{1}{2}})} (3 x + 2) \ln (5)}$

Étape 9.11

Développez $\ln (5^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{14 (\frac{1}{2} \ln (5))}{7^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} x^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} (3 x + 2) \ln (5)}$

Étape 9.12

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 (\frac{1}{2} \ln (5))}{7^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} x^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} (3 x + 2) \ln (5)}$

Étape 9.12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 (\frac{1}{2})}{7^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} x^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} (3 x + 2)}$

Étape 9.13

Associez $14$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} x^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} (3 x + 2)}$

Étape 9.14

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.14.1

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.14.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (5)$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} x^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (5)$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} x^{- (\frac{1}{2} \ln (5) - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (5)$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{1}{2} \ln (5)} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (5)$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.14.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}) + \frac{\ln (5)}{2}} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{- (\frac{\ln (5)}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}) + \frac{\ln (5)}{2}} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{- \frac{\ln (5) - 1 \cdot 2}{2} + \frac{\ln (5)}{2}} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{- \frac{\ln (5) - 2}{2} + \frac{\ln (5)}{2}} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{\frac{- (\ln (5) - 2) + \ln (5)}{2}} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.14.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{\frac{- \ln (5) - - 2 + \ln (5)}{2}} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{\frac{- \ln (5) + 2 + \ln (5)}{2}} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.5

Additionnez $- \ln (5)$ et $\ln (5)$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{\frac{0 + 2}{2}} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.6

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{\frac{2}{2}} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.7

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7^{1} x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.8

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.9

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.14.9.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x^{- (\frac{\ln (5)}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.9.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x^{- (\frac{\ln (5)}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}) + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x^{- \frac{\ln (5) - 1 \cdot 2}{2} + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.9.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x^{- \frac{\ln (5) - 2}{2} + \frac{\ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x^{\frac{- (\ln (5) - 2) + \ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.11

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.14.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x^{\frac{- \ln (5) - - 2 + \ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.11.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x^{\frac{- \ln (5) + 2 + \ln (5)}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.12

Additionnez $- \ln (5)$ et $\ln (5)$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x^{\frac{0 + 2}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.13

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x^{\frac{2}{2}} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.14

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x^{1} (3 x + 2)}$

Étape 9.14.15

Simplifiez

$\frac{\frac{14}{2}}{7 x (3 x + 2)}$

Étape 9.15

Divisez $14$ par $2$ .

$\frac{7}{7 x (3 x + 2)}$

Étape 9.16

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.16.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{7 x (3 x + 2)}$

Étape 9.16.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x (3 x + 2)}$