Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (\sqrt{5 x})$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x}$ comme ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(5 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(5 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $5^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Associez $5^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 10

Multipliez $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Déplacez $2$ à gauche de $1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 11.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la règle de produit à $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4

Associez des termes.

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Étape 12.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.2

Multipliez les exposants dans ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 12.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.3

Évaluez l’exposant.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 12.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.5

Simplifiez

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.6

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.7

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.4.7.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Étape 12.4.7.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 12.4.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Étape 12.4.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 12.4.7.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 12.4.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 12.4.7.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{10 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.6.1

Factorisez $2 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $10 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 12.6.1.1

Factorisez $2 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.6.1.2

Factorisez $2 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)}$

Étape 12.6.1.3

Factorisez $2 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}} + 1)}$

Étape 12.6.2

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{1} + 1)}$

Étape 12.6.3

Simplifiez

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x + 1)}$