Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 \ln (x)}] + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 \ln (x)$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 \ln (x)$ .

$2 x + x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 x + x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 \ln (x)$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{- 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- \frac{2}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.8

Associez $e^{- 2 \ln (x)}$ et $\frac{2}{x}$ .

$2 x + x^{4} (- \frac{e^{- 2 \ln (x)} \cdot 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.9

Déplacez $2$ à gauche de $e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + x^{4} (- \frac{2 \cdot e^{- 2 \ln (x)}}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.10

Associez $x^{4}$ et $\frac{2 e^{- 2 \ln (x)}}{x}$ .

$2 x - \frac{x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 2.11.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.11.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.11.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.11.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 x - \frac{x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.11.2.5

Divisez $x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ par $1$ .

$2 x - (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x - 2 (x^{3} (e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Étape 2.13

Additionnez $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ et $e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$ .

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Étape 2.13.1

Déplacez $e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x - 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

Étape 2.13.2

Additionnez $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ et $4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$

Étape 3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$ .

$2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 2 x$