Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} \cos (x) \sin (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3} \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$x^{3} \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$x^{3} \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Étape 3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$x^{3} (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Étape 4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$x^{3} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Étape 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 8

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x))) + \sin (x) (\cos (x) (3 x^{2}))$

Étape 10.2

Associez des termes.

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Étape 10.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + x^{3} (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \sin (x) (\cos (x) (3 x^{2}))$

Étape 10.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + x^{3} (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \sin (x) (\cos (x) (3 x^{2}))$

Étape 10.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} \cos^{2} (x) + x^{3} (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \sin (x) (\cos (x) (3 x^{2}))$

Étape 10.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + x^{3} (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) \cos (x) (3 x^{2})$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} \cos^{2} (x) - x^{3} \sin^{2} (x) + 3 x^{2} \cos (x) \sin (x)$