Calcul infinitésimal Exemples

y = \frac{x sin (x)}{1 + cos (x)}

$y = \frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où

f (x) = x sin (x)

$f (x) = x \sin (x)$ et

g (x) = 1 + cos (x)

$g (x) = 1 + \cos (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) \frac{d}{d x} [x sin (x)] - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où

$f (x) = x$ et

$g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de

$\sin (x)$ par rapport à

$x$ est

$\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez

$\sin (x)$ par

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$1 + \cos (x)$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 4.4

Comme

$1$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$1$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 4.5

Additionnez

$0$ et

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 5

La dérivée de

$\cos (x)$ par rapport à

$x$ est

$- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 6

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 6.2

Multipliez

$x$ par

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 7

Élevez

$\sin (x)$ à la puissance

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 8

Élevez

$\sin (x)$ à la puissance

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 10

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1.1

Développez

$(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1.2.1

Multipliez

$x \cos (x)$ par

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.1.2.2

Multipliez

$\sin (x)$ par

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.1.2.3

Multipliez

$\cos (x) (x \cos (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1.2.3.1

Élevez

$\cos (x)$ à la puissance

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.1.2.3.2

Élevez

$\cos (x)$ à la puissance

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.1.2.3.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.1.2.3.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.2

Déplacez

$x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.3

Factorisez

$x$ à partir de

$x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.4

Factorisez

$x$ à partir de

$x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.5

Factorisez

$x$ à partir de

$x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.6

Réorganisez les termes.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.1.8

Multipliez

$x$ par

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{\cos (x) (x + \sin (x)) + 1 (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.3.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun,

$x + \sin (x)$ .

$\frac{(x + \sin (x)) (\cos (x) + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.4

Annulez le facteur commun à

$\cos (x) + 1$ et

${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.4.2

Factorisez

$1 + \cos (x)$ à partir de

$(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11.4.3

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.3.1

Factorisez

$1 + \cos (x)$ à partir de

${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 11.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 11.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$