Calcul infinitésimal Exemples

$y = x e^{5 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{5 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (5 e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1$

Étape 3.5

Multipliez $e^{5 x}$ par $1$ .

$x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 e^{5 x} x + e^{5 x}$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 e^{5 x} x + e^{5 x}$ .

$5 x e^{5 x} + e^{5 x}$