Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} \ln (x - \frac{1}{2} x^{2})$

Étape 1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x - \frac{x^{2}}{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \ln (x - \frac{x^{2}}{2})$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{2}}{2})] + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{4} (\frac{1}{x - \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{x - \frac{x^{2}}{2}}$ et $x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}] + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.4

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - \frac{1}{2} (2 x)) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - 2 (\frac{1}{2}) x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- 2}{2} x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $x$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- 2 x}{2}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- x}{1}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.6.4.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) (4 x^{3})$

Étape 4.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$(1 - x) \frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} + 4 x^{3} \ln (x - \frac{x^{2}}{2})$