Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} (6 - x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 6 - x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [6 - x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$- x^{2} + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- x^{2} + (6 - x) (2 x)$

Étape 2.8

Déplacez $2$ à gauche de $6 - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (6 - x) x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + (2 \cdot 6 + 2 (- x)) x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 2 \cdot 6 x + 2 (- x) x$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$- x^{2} + 12 x + 2 (- x) x$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x^{2} + 12 x - 2 x \cdot x$

Étape 3.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x)$

Étape 3.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x^{1})$

Étape 3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2} + 12 x - 2 x^{1 + 1}$

Étape 3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- x^{2} + 12 x - 2 x^{2}$

Étape 3.3.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 12 x$