Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{x} + \frac{4}{x} + \sqrt{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[3]{x} + \frac{4}{x} + \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4

Associez des termes.

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$