Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[8]{\frac{x + 2}{x + 3}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[8]{\frac{x + 2}{x + 3}}$ comme ${(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ et $g (x) = \frac{x + 2}{x + 3}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x + 2}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x + 2}{x + 3}$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Étape 6.2

Soustrayez $8$ de $1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x + 3$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 9

Différenciez.

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Étape 9.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 9.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 9.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 9.4.2

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 9.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 9.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 9.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 9.8

Associez les fractions.

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Étape 9.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 9.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 9.8.3

Multipliez $\frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} \cdot 8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}}$

Étape 9.8.4

Déplacez $8$ à gauche de ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 \cdot {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 3}{x + 2})}^{\frac{7}{8}}$

Étape 10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x + 3}{x + 2}$ .

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 3 - x - 1 \cdot 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4

Associez des termes.

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Étape 10.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x + 3 - x - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 3 - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.3

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{3 - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.5

Multipliez $\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}}$ par $\frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{8 {(x + 3)}^{2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.6

Placez ${(x + 3)}^{\frac{7}{8}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}} {(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.7

Multipliez ${(x + 3)}^{2}$ par ${(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.7.1

Déplacez ${(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$\frac{1}{8 ({(x + 3)}^{- \frac{7}{8}} {(x + 3)}^{2}) {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + 2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.7.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.7.4

Associez $2$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{- 7 + 2 \cdot 8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.7.6.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{- 7 + 16}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10.4.7.6.2

Additionnez $- 7$ et $16$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{9}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$