Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{6 x^{2} + 5}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{6 x^{2} + 5}$ comme ${(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 6 x^{2} + 5$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x^{2} + 5$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(6 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(6 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Étape 7.3

Placez ${(6 x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 9

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 11

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (12 x + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 12

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (12 x + 0)$

Étape 13

Simplifiez les termes.

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Étape 13.1

Additionnez $12 x$ et $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (12 x)$

Étape 13.2

Associez $12$ et $\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{12}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x$

Étape 13.3

Associez $\frac{12}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{12 x}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 13.4

Factorisez $3$ à partir de $12 x$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 ({(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x}{{(6 x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$