Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ et $g (x) = x^{2} + 5$ .

$\frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Développez $(x^{2} + 5) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (2 x - 2) + 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.5

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 (x \cdot x)) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 10 x - 10 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 2 x^{2} + 10 x - 10$ et $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 10 x - 10 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Soustrayez $2 x$ de $10 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 8 x - 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 8 x - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (4 x) - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Factorisez $x^{2} + 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 3.4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 ((x - 1) (x + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

$\frac{2 (x - 1) (x + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$