Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - x^{2} - 4 x - 7$ et $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{2} - 4 x - 7] - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} - 4 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + 3) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + 0) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.9

Additionnez $- 2 x - 4$ et $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.12

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.13

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2.13.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Développez $(x + 3) (- 2 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- 2 x - 4) + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 \cdot x + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.5

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Soustrayez $6 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + 1 x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 10 x - 12 + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $- 10 x$ et $4 x$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 12 + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Additionnez $- 12$ et $7$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 5 = 5$ et dont la somme est $b = - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{- x^{2} - 6 (x) - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 1$ plus $- 5$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 5) x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 1) + 5 (- x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$