Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 4$ et $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2 \cdot 1)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 2.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x)) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 (x \cdot x)) + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + (- x^{2} + 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.5

Développez $(- x^{2} + 4) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x - 2) + 4 (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.6.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.4.1.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6.6

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x - 8$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0 + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 8 x - 8$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (- 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$\frac{2 (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$\frac{2 ((- x + 2) (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

$\frac{2 (- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Associez les exposants.

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.3.2

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x - 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.3.4

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.3.5

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.3.6

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.5.3.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x \cdot x - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2}}$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de produit à $x (x - 2)$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{x^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{x^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{2}}$