Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{3} + 1}{8 x}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3} + 1}{8 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3} + 1$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 (x^{1} x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{1 + 2} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{8 x^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1 \cdot 1}{8 x^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{8 x^{2}}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1}{8 x^{2}}$