Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)]$ .

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Étape 2.1

Associez $\frac{x^{3}}{3}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x)}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3} \ln (x)}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.6

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.7.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.7.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 2.7.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{3}}{9}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - 3 (\frac{1}{9}) x^{2}$

Étape 3.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3}{9} x^{2}$

Étape 3.5

Associez $\frac{- 3}{9}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3 x^{2}}{9}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $9$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{9}$

Étape 3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (3)}$

Étape 3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 3}$

Étape 3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- x^{2}}{3}$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (\ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{\ln (x)}{3} (3 x^{2}) - \frac{x^{2}}{3}$

Étape 4.2.2

Associez $3$ et $\frac{\ln (x)}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x)}{3} x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{3 \ln (x)}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $\ln (x) x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Étape 4.2.5

Pour écrire $\frac{1}{3} x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{1}{3} x^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Étape 4.2.6

Associez $\frac{1}{3} x^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Étape 4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Étape 4.2.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Étape 4.2.9

Associez $\frac{x^{2}}{3}$ et $3$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{3} - x^{2}}{3}$

Étape 4.2.10

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 \cdot x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Étape 4.2.11

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Étape 4.2.11.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{x^{2} - x^{2}}{3}$

Étape 4.2.12

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{3}$

Étape 4.2.13

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 4.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 (0)}{3}$

Étape 4.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Étape 4.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Étape 4.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{1}$

Étape 4.2.13.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\ln (x) x^{2} + 0$

Étape 4.2.14

Additionnez $\ln (x) x^{2}$ et $0$ .

$\ln (x) x^{2}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $\ln (x) x^{2}$ .

$x^{2} \ln (x)$