Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.8

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

$- 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Étape 3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 3} - (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Étape 3.6.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 2 x^{- 3} - (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Étape 3.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Étape 3.8

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 3} - (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Étape 3.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Étape 3.8.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Étape 3.9

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Étape 3.10

Multipliez $\frac{1}{x^{3}}$ par $0$ .

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4} + 0$

Étape 3.11

Additionnez $3 x^{- 4}$ et $0$ .

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 3 x^{- 4}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 4.3.3

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}$