Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x + \sqrt{x}}}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{x + x^{\frac{1}{2}}}}]$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.3

Réécrivez $\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 1.4

Multipliez les exposants dans ${({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ et $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7.2

Associez ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7.3

Placez ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 11

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 12

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 14.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 16

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 17

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.4

Multipliez $- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 18.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.1.4

Réécrivez $- 1 (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ comme $- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- (\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.7

Multipliez $- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ .

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Étape 18.7.1

Multipliez $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 18.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{2}}}$