Calcul infinitésimal Exemples

Déterminer la concavité x^5 logarithme népérien de x
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Find the values where the second derivative is equal to .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.1
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 2.1.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.3.1
Associez et .
Étape 2.1.1.3.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.1.3.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.3.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.1.3.2.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.1.3.2.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.1.3.2.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.1.3.2.2.5
Divisez par .
Étape 2.1.1.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.1.1.3.4
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2.1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.1.2.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 2.1.2.2.3
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.1.2.2.5
Associez et .
Étape 2.1.2.2.6
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.2.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.2.6.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.2.6.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.2.6.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.2.6.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.2.6.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.2.6.2.5
Divisez par .
Étape 2.1.2.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.2.3.2
Associez des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.3.2.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.3.2.2
Additionnez et .
Étape 2.1.2.3.3
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2.1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 2.2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 2.2.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2.2.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.2.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.3.2.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.2.3.2.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.3.2.2.2
Divisez par .
Étape 2.2.3.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.3.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.3.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.3.3.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.2.3.3.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.2.4
Pour résoudre , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.
Étape 2.2.5
Réécrivez en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si et sont des nombres réels positifs et , alors est équivalent à .
Étape 2.2.6
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.6.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 2.2.6.2
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 3
Déterminez le domaine de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Définissez l’argument dans supérieur à pour déterminer où l’expression est définie.
Étape 3.2
Le domaine est l’ensemble des valeurs de qui rendent l’expression définie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 4
Créez des intervalles autour des valeurs où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.
Étape 5
Remplacez tout nombre du premier intervalle dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.2.1.5
Simplifiez en déplaçant dans le logarithme.
Étape 5.2.1.6
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.3
La réponse finale est .
Étape 5.3
Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle car est négatif.
Concave vers le bas sur car est négatif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 6
Remplacez tout nombre du premier intervalle dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.4
Multipliez par .
Étape 6.2.1.5
Simplifiez en déplaçant dans le logarithme.
Étape 6.2.2
La réponse finale est .
Étape 6.3
Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle car est positif.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 7
Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.
Concave vers le bas sur car est négatif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 8