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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Étape 2.1
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 2.1.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 2.1.1.1
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 2.1.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Étape 2.1.1.3.1
Associez et .
Étape 2.1.1.3.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 2.1.1.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.1.3.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.1.1.3.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.1.3.2.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.1.3.2.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.1.3.2.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.1.3.2.2.5
Divisez par .
Étape 2.1.1.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.1.3.4
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2.1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 2.1.2.1
Différenciez.
Étape 2.1.2.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.2.2
Évaluez .
Étape 2.1.2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 2.1.2.2.3
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.2.2.5
Associez et .
Étape 2.1.2.2.6
Annulez le facteur commun à et .
Étape 2.1.2.2.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.2.6.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.1.2.2.6.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.2.6.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.2.6.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.2.6.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.2.6.2.5
Divisez par .
Étape 2.1.2.3
Simplifiez
Étape 2.1.2.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.2.3.2
Associez des termes.
Étape 2.1.2.3.2.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.3.2.2
Additionnez et .
Étape 2.1.2.3.3
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2.1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 2.2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
Étape 2.2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 2.2.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2.2.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 2.2.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.2.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 2.2.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.2.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.3.2.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.2.3.2.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.2.3.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.3.2.2.2
Divisez par .
Étape 2.2.3.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 2.2.3.3.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.2.3.3.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.3.3.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.2.3.3.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.2.4
Pour résoudre , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.
Étape 2.2.5
Réécrivez en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si et sont des nombres réels positifs et , alors est équivalent à .
Étape 2.2.6
Résolvez .
Étape 2.2.6.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 2.2.6.2
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 3
Étape 3.1
Définissez l’argument dans supérieur à pour déterminer où l’expression est définie.
Étape 3.2
Le domaine est l’ensemble des valeurs de qui rendent l’expression définie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 4
Créez des intervalles autour des valeurs où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.
Étape 5
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.2.1.5
Simplifiez en déplaçant dans le logarithme.
Étape 5.2.1.6
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.3
La réponse finale est .
Étape 5.3
Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle car est négatif.
Concave vers le bas sur car est négatif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 6
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
Simplifiez le résultat.
Étape 6.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.4
Multipliez par .
Étape 6.2.1.5
Simplifiez en déplaçant dans le logarithme.
Étape 6.2.2
La réponse finale est .
Étape 6.3
Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle car est positif.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 7
Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.
Concave vers le bas sur car est négatif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 8