Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 25}$ comme ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 25$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Étape 7.2

Associez ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Étape 7.3

Placez ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 10

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 11

Simplifiez les termes.

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Étape 11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 11.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 11.4

Associez $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.5

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$