Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{6}}{5 - x^{5}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = 5 - x^{5}$ .

$\frac{(5 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [5 - x^{5}]}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{(5 - x^{5}) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [5 - x^{5}]}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $6$ à gauche de $5 - x^{5}$ .

$\frac{6 \cdot (5 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [5 - x^{5}]}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{6 (5 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6 (5 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{6 (5 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [- x^{5}]}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{6 (5 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6 (5 - x^{5}) x^{5} + 1 x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 2.7.2

Multipliez $x^{6}$ par $1$ .

$\frac{6 (5 - x^{5}) x^{5} + x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{6 (5 - x^{5}) x^{5} + x^{6} (5 x^{4})}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez $x^{6}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{6 (5 - x^{5}) x^{5} + x^{4} x^{6} \cdot 5}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 (5 - x^{5}) x^{5} + x^{4 + 6} \cdot 5}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $4$ et $6$ .

$\frac{6 (5 - x^{5}) x^{5} + x^{10} \cdot 5}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 4

Déplacez $5$ à gauche de $x^{10}$ .

$\frac{6 (5 - x^{5}) x^{5} + 5 \cdot x^{10}}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(6 \cdot 5 + 6 (- x^{5})) x^{5} + 5 x^{10}}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 5 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{30 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $x^{5}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.1

Déplacez $x^{5}$ .

$\frac{30 x^{5} + 6 (- (x^{5} x^{5})) + 5 x^{10}}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{30 x^{5} + 6 (- x^{5 + 5}) + 5 x^{10}}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.3

Additionnez $5$ et $5$ .

$\frac{30 x^{5} + 6 (- x^{10}) + 5 x^{10}}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{30 x^{5} - 6 x^{10} + 5 x^{10}}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Additionnez $- 6 x^{10}$ et $5 x^{10}$ .

$\frac{30 x^{5} - x^{10}}{{(5 - x^{5})}^{2}}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{10} + 30 x^{5}}{{(- x^{5} + 5)}^{2}}$

Étape 5.5

Factorisez $x^{5}$ à partir de $- x^{10} + 30 x^{5}$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $x^{5}$ à partir de $- x^{10}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + 30 x^{5}}{{(- x^{5} + 5)}^{2}}$

Étape 5.5.2

Factorisez $x^{5}$ à partir de $30 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 30}{{(- x^{5} + 5)}^{2}}$

Étape 5.5.3

Factorisez $x^{5}$ à partir de $x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 30$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5} + 30)}{{(- x^{5} + 5)}^{2}}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) + 30)}{{(- x^{5} + 5)}^{2}}$

Étape 5.7

Réécrivez $30$ comme $- 1 (- 30)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) - 1 (- 30))}{{(- x^{5} + 5)}^{2}}$

Étape 5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{5}) - 1 (- 30)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5} - 30))}{{(- x^{5} + 5)}^{2}}$

Étape 5.9

Réécrivez $- (x^{5} - 30)$ comme $- 1 (x^{5} - 30)$ .

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{5} - 30))}{{(- x^{5} + 5)}^{2}}$

Étape 5.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{5} (x^{5} - 30)}{{(- x^{5} + 5)}^{2}}$