Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1 - x}{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - x$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 - x] - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- x] - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (- \frac{d}{d x} [x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (- 1 \cdot 1) - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x \cdot - 1 - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{- x - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- x - (1 - x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- x - (1 - x)}{x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x - 1 \cdot 1 - - x}{x^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- x - 1 - - x}{x^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x - 1 + 1 x}{x^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{- x - 1 + x}{x^{2}}$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $- x - 1 + x$ .

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{0 - 1}{x^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{x^{2}}$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{2}}$