Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Étape 1

Écrivez $y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $15 x^{4} - 15 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{4} - 15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $4$ par $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $60 x^{3} - 30 x$ .

$60 x^{3} - 30 x$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $60 x^{3} - 30 x = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$60 x^{3} - 30 x = 0$

Étape 3.2

Factorisez $30 x$ à partir de $60 x^{3} - 30 x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $30 x$ à partir de $60 x^{3}$ .

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $30 x$ à partir de $- 30 x$ .

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $30 x$ à partir de $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ .

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $2 x^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $2 x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $2 x^{2} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 1$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ est $(0, 1)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 1)$

Étape 4.3

Remplacez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{5}$ comme $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.2.3

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.3.2.1.2.3.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.2.3.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $32$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.5

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.3.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} + 1$

Étape 4.3.2.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1.7.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} + 1$

Étape 4.3.2.1.7.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} + 1$

Étape 4.3.2.1.7.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.3.2.1.7.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} + 1$

Étape 4.3.2.1.7.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} + 1$

Étape 4.3.2.1.7.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} + 1$

Étape 4.3.2.1.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{8} + 1$

Étape 4.3.2.1.9

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 4.3.2.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 (\sqrt{2})}{8} + 1$

Étape 4.3.2.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Étape 4.3.2.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Étape 4.3.2.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2}}{4} + 1$

Étape 4.3.2.1.10

Associez $- 5$ et $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Étape 4.3.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Étape 4.3.2.2

Pour écrire $- \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Étape 4.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Étape 4.3.2.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Étape 4.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.5.1.1

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Étape 4.3.2.5.1.2

Soustrayez $10 \sqrt{2}$ de $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Étape 4.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Étape 4.3.2.6

La réponse finale est $- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ est $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Étape 4.5

Remplacez $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}})) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.2.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{5}$ comme $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.3.3

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.5.2.1.3.3.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.3.3.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $32$ .

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Étape 4.5.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.6

Multipliez $3 (- \frac{\sqrt{2}}{8})$ .

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Étape 4.5.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 3 \frac{\sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.6.2

Associez $- 3$ et $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{(3) \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Étape 4.5.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.5.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) + 1$

Étape 4.5.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}})) + 1$

Étape 4.5.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 1$

Étape 4.5.2.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.2.1.10.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 1$

Étape 4.5.2.1.10.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 1$

Étape 4.5.2.1.10.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.5.2.1.10.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 1$

Étape 4.5.2.1.10.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 1$

Étape 4.5.2.1.10.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 1$

Étape 4.5.2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 1$

Étape 4.5.2.1.12

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 4.5.2.1.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 (\sqrt{2})}{8}) + 1$

Étape 4.5.2.1.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Étape 4.5.2.1.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Étape 4.5.2.1.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Étape 4.5.2.1.13

Multipliez $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4})$ .

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Étape 4.5.2.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + 5 (\frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Étape 4.5.2.1.13.2

Associez $5$ et $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Étape 4.5.2.2

Pour écrire $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Étape 4.5.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.5.2.3.1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Étape 4.5.2.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Étape 4.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Étape 4.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.2.5.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Étape 4.5.2.5.2

Additionnez $- 3 \sqrt{2}$ et $10 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Étape 4.5.2.6

La réponse finale est $\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Étape 4.6

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ est $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Étape 4.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.80710678$ dans l’expression.

$f'' (- 0.80710678) = 60 {(- 0.80710678)}^{3} - 30 \cdot - 0.80710678$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.80710678$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.80710678) = 60 \cdot - 0.52576659 - 30 \cdot - 0.80710678$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $60$ par $- 0.52576659$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 - 30 \cdot - 0.80710678$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 30$ par $- 0.80710678$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 + 24.21320343$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 31.54599564$ et $24.21320343$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 7.3327922$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 7.3327922$ .

$- 7.3327922$

Étape 6.3

Sur $- 0.80710678$ , la dérivée seconde est $- 7.3327922$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Diminue sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.35355339$ dans l’expression.

$f'' (- 0.35355339) = 60 {(- 0.35355339)}^{3} - 30 \cdot - 0.35355339$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 0.35355339$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.35355339) = 60 \cdot - 0.04419417 - 30 \cdot - 0.35355339$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $60$ par $- 0.04419417$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 - 30 \cdot - 0.35355339$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 30$ par $- 0.35355339$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 + 10.60660171$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 2.65165042$ et $10.60660171$ .

$f'' (- 0.35355339) = 7.95495128$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $7.95495128$ .

$7.95495128$

Étape 7.3

Sur $- 0.35355339$ , la dérivée seconde est $7.95495128$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ .

Augmente sur $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.35355339$ dans l’expression.

$f'' (0.35355339) = 60 {(0.35355339)}^{3} - 30 \cdot 0.35355339$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $0.35355339$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.35355339) = 60 \cdot 0.04419417 - 30 \cdot 0.35355339$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $60$ par $0.04419417$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 30 \cdot 0.35355339$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 30$ par $0.35355339$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 10.60660171$

Étape 8.2.2

Soustrayez $10.60660171$ de $2.65165042$ .

$f'' (0.35355339) = - 7.95495128$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 7.95495128$ .

$- 7.95495128$

Étape 8.3

Sur $0.35355339$ , la dérivée seconde est $- 7.95495128$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Diminue sur $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $0.80710678$ dans l’expression.

$f'' (0.80710678) = 60 {(0.80710678)}^{3} - 30 \cdot 0.80710678$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $0.80710678$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.80710678) = 60 \cdot 0.52576659 - 30 \cdot 0.80710678$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $60$ par $0.52576659$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 30 \cdot 0.80710678$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $- 30$ par $0.80710678$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 24.21320343$

Étape 9.2.2

Soustrayez $24.21320343$ de $31.54599564$ .

$f'' (0.80710678) = 7.3327922$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $7.3327922$ .

$7.3327922$

Étape 9.3

Sur $0.80710678$ , la dérivée seconde est $7.3327922$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Étape 11