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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Étape 2.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 2.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2
Évaluez .
Étape 2.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 2.1.3
Évaluez .
Étape 2.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.3.3
Multipliez par .
Étape 2.1.4
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Étape 2.1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.4.2
Additionnez et .
Étape 2.2
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 2.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Évaluez .
Étape 2.2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.2.3
Multipliez par .
Étape 2.2.3
Évaluez .
Étape 2.2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.3.3
Multipliez par .
Étape 2.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 3
Étape 3.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 3.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 3.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 3.4
Définissez égal à .
Étape 3.5
Définissez égal à et résolvez .
Étape 3.5.1
Définissez égal à .
Étape 3.5.2
Résolvez pour .
Étape 3.5.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 3.5.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 3.5.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 3.5.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 3.5.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.5.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.5.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 3.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 3.5.2.4
Simplifiez .
Étape 3.5.2.4.1
Réécrivez comme .
Étape 3.5.2.4.2
Toute racine de est .
Étape 3.5.2.4.3
Multipliez par .
Étape 3.5.2.4.4
Associez et simplifiez le dénominateur.
Étape 3.5.2.4.4.1
Multipliez par .
Étape 3.5.2.4.4.2
Élevez à la puissance .
Étape 3.5.2.4.4.3
Élevez à la puissance .
Étape 3.5.2.4.4.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.5.2.4.4.5
Additionnez et .
Étape 3.5.2.4.4.6
Réécrivez comme .
Étape 3.5.2.4.4.6.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 3.5.2.4.4.6.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.5.2.4.4.6.3
Associez et .
Étape 3.5.2.4.4.6.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.5.2.4.4.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.5.2.4.4.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.5.2.4.4.6.5
Évaluez l’exposant.
Étape 3.5.2.5
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 3.5.2.5.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 3.5.2.5.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 3.5.2.5.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 3.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 4
Étape 4.1
Remplacez dans pour déterminer la valeur de .
Étape 4.1.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 4.1.2
Simplifiez le résultat.
Étape 4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.1.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 4.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.1.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 4.1.2.1.4
Multipliez par .
Étape 4.1.2.2
Simplifiez en ajoutant des nombres.
Étape 4.1.2.2.1
Additionnez et .
Étape 4.1.2.2.2
Additionnez et .
Étape 4.1.2.3
La réponse finale est .
Étape 4.2
Le point trouvé en remplaçant dans est . Ce point peut être un point d’inflexion.
Étape 4.3
Remplacez dans pour déterminer la valeur de .
Étape 4.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 4.3.2
Simplifiez le résultat.
Étape 4.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.3.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 4.3.2.1.2
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.3.2.1.2.1
Réécrivez comme .
Étape 4.3.2.1.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 4.3.2.1.2.3
Réécrivez comme .
Étape 4.3.2.1.2.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.2.1.2.3.2
Réécrivez comme .
Étape 4.3.2.1.2.4
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 4.3.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 4.3.2.1.4
Annulez le facteur commun à et .
Étape 4.3.2.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.2.1.4.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 4.3.2.1.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.2.1.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.2.1.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.3.2.1.5
Associez et .
Étape 4.3.2.1.6
Appliquez la règle de produit à .
Étape 4.3.2.1.7
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.3.2.1.7.1
Réécrivez comme .
Étape 4.3.2.1.7.2
Élevez à la puissance .
Étape 4.3.2.1.7.3
Réécrivez comme .
Étape 4.3.2.1.7.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.2.1.7.3.2
Réécrivez comme .
Étape 4.3.2.1.7.4
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 4.3.2.1.8
Élevez à la puissance .
Étape 4.3.2.1.9
Annulez le facteur commun à et .
Étape 4.3.2.1.9.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.2.1.9.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 4.3.2.1.9.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.2.1.9.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.2.1.9.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.3.2.1.10
Associez et .
Étape 4.3.2.1.11
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.3.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.3.2.3
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Étape 4.3.2.3.1
Multipliez par .
Étape 4.3.2.3.2
Multipliez par .
Étape 4.3.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.3.2.5
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.3.2.5.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.3.2.5.1.1
Multipliez par .
Étape 4.3.2.5.1.2
Soustrayez de .
Étape 4.3.2.5.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.3.2.6
La réponse finale est .
Étape 4.4
Le point trouvé en remplaçant dans est . Ce point peut être un point d’inflexion.
Étape 4.5
Remplacez dans pour déterminer la valeur de .
Étape 4.5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 4.5.2
Simplifiez le résultat.
Étape 4.5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.5.2.1.1
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Étape 4.5.2.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 4.5.2.1.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 4.5.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 4.5.2.1.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.5.2.1.3.1
Réécrivez comme .
Étape 4.5.2.1.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 4.5.2.1.3.3
Réécrivez comme .
Étape 4.5.2.1.3.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.5.2.1.3.3.2
Réécrivez comme .
Étape 4.5.2.1.3.4
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 4.5.2.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 4.5.2.1.5
Annulez le facteur commun à et .
Étape 4.5.2.1.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.5.2.1.5.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 4.5.2.1.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.5.2.1.5.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.5.2.1.5.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.5.2.1.6
Multipliez .
Étape 4.5.2.1.6.1
Multipliez par .
Étape 4.5.2.1.6.2
Associez et .
Étape 4.5.2.1.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.5.2.1.8
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Étape 4.5.2.1.8.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 4.5.2.1.8.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 4.5.2.1.9
Élevez à la puissance .
Étape 4.5.2.1.10
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.5.2.1.10.1
Réécrivez comme .
Étape 4.5.2.1.10.2
Élevez à la puissance .
Étape 4.5.2.1.10.3
Réécrivez comme .
Étape 4.5.2.1.10.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.5.2.1.10.3.2
Réécrivez comme .
Étape 4.5.2.1.10.4
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 4.5.2.1.11
Élevez à la puissance .
Étape 4.5.2.1.12
Annulez le facteur commun à et .
Étape 4.5.2.1.12.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.5.2.1.12.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 4.5.2.1.12.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.5.2.1.12.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.5.2.1.12.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.5.2.1.13
Multipliez .
Étape 4.5.2.1.13.1
Multipliez par .
Étape 4.5.2.1.13.2
Associez et .
Étape 4.5.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.5.2.3
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Étape 4.5.2.3.1
Multipliez par .
Étape 4.5.2.3.2
Multipliez par .
Étape 4.5.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.5.2.5
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.5.2.5.1
Multipliez par .
Étape 4.5.2.5.2
Additionnez et .
Étape 4.5.2.6
La réponse finale est .
Étape 4.6
Le point trouvé en remplaçant dans est . Ce point peut être un point d’inflexion.
Étape 4.7
Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.
Étape 5
Divisez en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.
Étape 6
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
Simplifiez le résultat.
Étape 6.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.1.3
Multipliez par .
Étape 6.2.2
Additionnez et .
Étape 6.2.3
La réponse finale est .
Étape 6.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 7
Étape 7.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 7.2
Simplifiez le résultat.
Étape 7.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 7.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 7.2.1.2
Multipliez par .
Étape 7.2.1.3
Multipliez par .
Étape 7.2.2
Additionnez et .
Étape 7.2.3
La réponse finale est .
Étape 7.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 8
Étape 8.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 8.2
Simplifiez le résultat.
Étape 8.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 8.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 8.2.1.2
Multipliez par .
Étape 8.2.1.3
Multipliez par .
Étape 8.2.2
Soustrayez de .
Étape 8.2.3
La réponse finale est .
Étape 8.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 9
Étape 9.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 9.2
Simplifiez le résultat.
Étape 9.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 9.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 9.2.1.2
Multipliez par .
Étape 9.2.1.3
Multipliez par .
Étape 9.2.2
Soustrayez de .
Étape 9.2.3
La réponse finale est .
Étape 9.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 10
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
Étape 11