Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x^{4} - 3 x}{4 x - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{4} - 3 x$ et $g (x) = 4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3 x] - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{4} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3 \cdot 1) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.11

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 + 0)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.13.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4} - 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(4 x - 1) (8 x^{3} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (8 x^{3} - 3) - 1 (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (8 x^{3}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (8 x^{3}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 \cdot 8 x \cdot x^{3} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{3} x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 3.2.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{3} x^{1}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \cdot 8 x^{3 + 1} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{4} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{32 x^{4} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 12 x}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 12 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $- 12 x$ et $12 x$ .

$\frac{32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 0}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4}}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $8 x^{4}$ de $32 x^{4}$ .

$\frac{24 x^{4} - 8 x^{3} + 3}{{(4 x - 1)}^{2}}$