Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{5 x^{4}} - \frac{5}{3 x^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{5 x^{4}} - \frac{5}{3 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{5 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{4}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{4}$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{1}{5} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{5} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{5} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$\frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.8

Associez $- 4$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.9

Associez $\frac{- 4}{5}$ et $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.10

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{5}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{3 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{- 3})$

Étape 3.10

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + 2 (\frac{5}{3}) x^{- 3}$

Étape 3.11

Associez $2$ et $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{2 \cdot 5}{3} x^{- 3}$

Étape 3.12

Multipliez $2$ par $5$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10}{3} x^{- 3}$

Étape 3.13

Associez $\frac{10}{3}$ et $x^{- 3}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10 x^{- 3}}{3}$

Étape 3.14

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10}{3 x^{3}}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{10}{3 x^{3}} - \frac{4}{5 x^{5}}$