Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$ comme ${(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 4 - 5 x - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - 5 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - 5 x - x^{2}$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 5 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.6

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - (2 x))$

Étape 3.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - 2 x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$ .

$- (- 5 - 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- - 5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$(5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$(5 + 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.6

Multipliez $5 + 2 x$ par $\frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{5 + 2 x}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$