Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sinh (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sinh (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sinh (u)$ par rapport à $u$ est $\cosh (u)$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cosh (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot \cosh (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.7

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} \cosh (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.8

Associez $\frac{2}{4}$ et $\cosh (2 x)$ .

$\frac{2 \cosh (2 x)}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cosh (2 x)$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x))}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cosh (2 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2}$