Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 - 3 x$ et $g (x) = 3 x^{2} + x$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 - 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \cdot 1) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) \cdot - 3 - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $3 x^{2} + x$ .

$\frac{- 3 \cdot (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 + 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Développez $(- 4 + 3 x) (6 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x + 1) + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.4.1.1

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x \cdot x + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.4.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.5

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.2

Additionnez $- 24 x$ et $3 x$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4 + 18 x^{2}}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 9 x^{2}$ et $18 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $21 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} + x$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x^{1})}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x \cdot 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.4.2

Appliquez la règle de produit à $x (3 x + 1)$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$