Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4 x}{\log_{4} (x)}$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{\log_{4} (x)}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{4} (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{4} (x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \log_{4} (x)$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\log_{4} (x)$ par $1$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 4

La dérivée de $\log_{4} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) - x \frac{1}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{x \ln (4)}$ et $x$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{x}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{x}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 5.3

Associez $4$ et $\frac{\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$ .

$\frac{4 (\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \log_{4} (x) + 4 (- \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $4 \log_{4} (x)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + 4 (- \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $4 (- \frac{1}{\ln (4)})$ .

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) - 4 \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 6.2.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 6.2.3

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{\ln (2^{2})}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 6.2.4

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 6.2.5

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 6.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 6.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (2)$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (\ln (2))}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 6.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 6.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 2}{\ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Étape 6.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) - \frac{2}{\ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$