Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4 \ln (x + 6)}{x^{2}}$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 \ln (x + 6)}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x + 6)$ et $g (x) = x^{2}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 6$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 6$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 6$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{x + 6}$ et $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + 0) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \cdot 1 - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.5.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{x + 6}$ par $1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 6

Multipliez $\frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$4 (\frac{x + 6}{x + 6} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez.

$4 \frac{(x + 6) (\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Étape 7.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) (2 x))}{(x + 6) x^{4}}$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$

Étape 9.2

Associez $4$ et $\frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$ .

$\frac{4 (x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (x + 6)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 (x (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.4

Multipliez $6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x)$ .

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Étape 10.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 (\ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.4.2

Remettez dans l’ordre $\ln ({(x + 6)}^{2})$ et $- 6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.4.3

Simplifiez $- 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2})$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.1.5.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.5.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 6)}^{2})}^{6}$ .

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Étape 10.3.1.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.5.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.7

Multipliez $4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}))$ .

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Étape 10.3.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 (x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.7.2

Simplifiez $- 4 \ln ({(x + 6)}^{2})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.8

Multipliez $4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)$ .

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Étape 10.3.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - 4 (\ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.8.2

Remettez dans l’ordre $\ln ({(x + 6)}^{12})$ et $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - 4 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.8.3

Simplifiez $- 4 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.9.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 6)}^{2})}^{4}$ .

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Étape 10.3.1.9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 4}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.9.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.9.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 6)}^{12})}^{4}$ .

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Étape 10.3.1.9.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{12 \cdot 4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.1.9.3.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}) x$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.4

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 10.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{1} x^{4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{1 + 4} + 6 x^{4}}$

Étape 10.4.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Étape 10.5

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})$ .

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Étape 10.5.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{x (4 x) - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Étape 10.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8})) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Étape 10.5.3

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln ({(x + 6)}^{48})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Étape 10.5.4

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Étape 10.5.5

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Étape 10.6

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5} + 6 x^{4}$ .

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Étape 10.6.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} x + 6 x^{4}}$

Étape 10.6.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $6 x^{4}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 6}$

Étape 10.6.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} x + x^{4} \cdot 6$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} (x + 6)}$

Étape 10.7

Développez $\ln ({(x + 6)}^{8})$ en déplaçant $8$ hors du logarithme.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} (x + 6)}$

Étape 10.8

Développez $\ln ({(x + 6)}^{48})$ en déplaçant $48$ hors du logarithme.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x^{4} (x + 6)}$

Étape 10.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.9.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} (x + 6)$ .

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

Étape 10.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

Étape 10.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Étape 10.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.10.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 6) - 1 \cdot 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Étape 10.10.2

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Étape 10.10.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)$ .

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Étape 10.10.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{4 (x) - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Étape 10.10.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x \ln (x + 6)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6)) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Étape 10.10.3.3

Factorisez $4$ à partir de $- 48 \ln (x + 6)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Étape 10.10.3.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Étape 10.10.3.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 6) - 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$