Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5^{\sin (π x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 5^{x}$ et $g (x) = \sin (π x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (π x)$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $π x$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $π x$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) \cos (π x) π$

Étape 3.3.2

Réorganisez les facteurs de $5^{\sin (π x)} \ln (5) \cos (π x) π$ .

$π \cdot 5^{\sin (π x)} \cos (π x) \ln (5)$