Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5}{2} \cdot (x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{5}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \cdot 5}{2} \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$

Étape 1.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{x^{3} \cdot 5}{2}$ et ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \cdot 5 {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}]$

Étape 1.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}]$

Étape 1.3

Comme $\frac{5}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ .

$\frac{5}{2} (x^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{5} - 5)}^{3}] + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 4 x^{5} - 5$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{5} - 5$ .

$\frac{5}{2} (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{5} - 5$ .

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{5} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{5}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4} + 0)) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $20 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4})) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6.2

Multipliez $20$ par $3$ .

$\frac{5}{2} (x^{3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2} x^{4}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5

Multipliez $x^{3}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{5}{2} (x^{4} x^{3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{2} (x^{4 + 3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} (3 x^{2}))$

Étape 7

Déplacez $3$ à gauche de ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ .

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + 3 \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2})) + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2

Associez des termes.

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Étape 8.2.1

Associez $x^{7}$ et $\frac{5}{2}$ .

$\frac{x^{7} \cdot 5}{2} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2.2

Associez $60$ et $\frac{x^{7} \cdot 5}{2}$ .

$\frac{60 (x^{7} \cdot 5)}{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2.3

Multipliez $5$ par $60$ .

$\frac{300 x^{7}}{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2.4

Associez $\frac{300 x^{7}}{2}$ et ${(4 x^{5} - 5)}^{2}$ .

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}}{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2.5

Annulez le facteur commun à $300$ et $2$ .

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Étape 8.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ .

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2 (1)} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}}{1} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2.5.2.4

Divisez $150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ par $1$ .

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2.6

Associez $3$ et $\frac{5}{2}$ .

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{3 \cdot 5}{2} ({(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2.7

Multipliez $3$ par $5$ .

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{15}{2} ({(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

Étape 8.2.8

Associez ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ et $\frac{15}{2}$ .

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15}{2} x^{2}$

Étape 8.2.9

Associez $\frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15}{2}$ et $x^{2}$ .

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15 x^{2}}{2}$

Étape 8.2.10

Déplacez $15$ à gauche de ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ .

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{15 \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

Étape 8.2.11

Pour écrire $150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

Étape 8.2.12

Associez $150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

Étape 8.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot 2 + 15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

Étape 8.2.14

Multipliez $2$ par $150$ .

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Factorisez $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ à partir de $300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ .

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Étape 8.4.1.1

Factorisez $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ à partir de $300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ .

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$

Étape 8.4.1.2

Factorisez $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ à partir de $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ .

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 x^{5} - 5)}{2}$

Étape 8.4.1.3

Factorisez $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ à partir de $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 x^{5} - 5)$ .

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5} + 4 x^{5} - 5)}{2}$

Étape 8.4.2

Additionnez $20 x^{5}$ et $4 x^{5}$ .

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (24 x^{5} - 5)}{2}$