Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5^{x^{3} + \cos (2 x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 5^{x}$ et $g (x) = x^{3} + \cos (2 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3} + \cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3} + \cos (2 x)$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x))$

Étape 4.4.2

Réorganisez les facteurs de $5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x))$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} (3 x^{2} - 2 \sin (2 x)) \ln (5)$