Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{42}{\sqrt{49 + x^{2}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{49 + x^{2}}$ comme ${(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Comme $42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$42 \frac{d}{d x} [{({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 1.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 1.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = 49 + x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $49 + x^{2}$ .

$42 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $49 + x^{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 8

Associez ${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$42 (- \frac{{(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Placez ${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 (- \frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $42$ .

$- 42 (\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $- 42$ .

$\frac{- 42}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Étape 11

Factorisez $2$ à partir de $- 42$ .

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Étape 12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 21}{2 ({(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Étape 13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Étape 14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $49 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 15

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 16

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Étape 18

Associez les fractions.

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Étape 18.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 18.2

Associez $- 2$ et $\frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 18.3

Multipliez $- 2$ par $21$ .

$\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 18.4

Associez $\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$