Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4 x - 5}{x + 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 x - 5$ et $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [4 x - 5] - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(x + 2) (4 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 2) (4 + 0) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x + 2$ .

$\frac{4 \cdot (x + 2) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + 4 \cdot 2 - (4 x - 5)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + 4 \cdot 2 - (4 x) - - 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{4 x + 8 - (4 x) - - 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x + 8 - 4 x - - 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{4 x + 8 - 4 x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $4 x + 8 - 4 x + 5$ .

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{0 + 8 + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$\frac{8 + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $8$ et $5$ .

$\frac{13}{{(x + 2)}^{2}}$