Calcul infinitésimal Exemples

Associez ${\displaystyle x^3}$ et ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Associez les fractions.

Comme ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{2x^3{(4x^5-13)}^3}{3}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{2}{3}\frac{d}{dx}\left[x^3{(4x^5-13)}^3\right]}$.

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez ${\displaystyle u}$ comme ${\displaystyle 4x^5-13}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{du}\left[u^n\right]}$ est ${\displaystyle n{u}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=3}$.

Remplacez toutes les occurrences de ${\displaystyle u}$ par ${\displaystyle 4x^5-13}$.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle 4x^5-13}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[4x^5\right]+\frac{d}{dx}[-13]}$.

Comme ${\displaystyle 4}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 4x^5}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x^5\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=5}$.

Multipliez ${\displaystyle 5}$ par ${\displaystyle 4}$.

Comme ${\displaystyle -13}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -13}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Simplifiez l’expression.

Déplacez ${\displaystyle x^4}$.

Utilisez la règle de puissance ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ pour associer des exposants.

Additionnez ${\displaystyle 4}$ et ${\displaystyle 3}$.

Appliquez la propriété distributive.

Associez ${\displaystyle x^7}$ et ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Associez ${\displaystyle 60}$ et ${\displaystyle \frac{x^7\cdot 2}{3}}$.

Multipliez ${\displaystyle 2}$ par ${\displaystyle 60}$.

Associez ${\displaystyle \frac{120x^7}{3}}$ et ${\displaystyle {(4x^5-13)}^2}$.

Annulez le facteur commun à ${\displaystyle 120}$ et ${\displaystyle 3}$.

Associez ${\displaystyle 3}$ et ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Multipliez ${\displaystyle 3}$ par ${\displaystyle 2}$.

Associez ${\displaystyle {(4x^5-13)}^3}$ et ${\displaystyle \frac{6}{3}}$.

Associez ${\displaystyle \frac{{(4x^5-13)}^3\cdot 6}{3}}$ et ${\displaystyle x^2}$.

Déplacez ${\displaystyle 6}$ à gauche de ${\displaystyle {(4x^5-13)}^3}$.

Annulez le facteur commun à ${\displaystyle 6}$ et ${\displaystyle 3}$.

Factorisez ${\displaystyle 2x^2{(4x^5-13)}^2}$ à partir de ${\displaystyle 40x^7{(4x^5-13)}^2+2{(4x^5-13)}^3{x}^2}$.

Additionnez ${\displaystyle 20x^5}$ et ${\displaystyle 4x^5}$.

Réécrivez ${\displaystyle {(4x^5-13)}^2}$ comme ${\displaystyle (4x^5-13)(4x^5-13)}$.

Développez ${\displaystyle (4x^5-13)(4x^5-13)}$ à l’aide de la méthode FOIL.

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appliquez la propriété distributive.

Simplifiez

Simplifiez chaque terme.

Développez ${\displaystyle (32x^{12}-208x^7+338x^2)(24x^5-13)}$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

Simplifiez chaque terme.