Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{3}{5 x + 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{5 x + 2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{5 x + 2}$ comme ${(5 x + 2)}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 5 x + 2$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x + 2$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x + 2$ .

$- 3 (- {(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$3 ({(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + 0)$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} \cdot 5$

Étape 3.7.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 {(5 x + 2)}^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 \frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Associez $15$ et $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{15}{{(5 x + 2)}^{2}}$