Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 + 4 x - 6 \sqrt{x}}{x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}] - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{x (4 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (4 - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (4 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 10

Associez $- 6$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (4 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (4 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 12

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (4 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 4 + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 4 + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.3.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 \cdot x + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 x - x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.3

Associez $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{4 x - \frac{3 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.4

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{4 x - (3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.5

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.3.1.5.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x - (3 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.5.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 17.3.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x - (3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x - (3 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{4 x - (3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x - (3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.5.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{4 x - (3 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 17.3.1.9

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Étape 17.3.2

Associez les termes opposés dans $4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 17.3.2.1

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 0 + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Étape 17.3.2.2

Additionnez $- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3$ et $0$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Étape 17.3.3

Additionnez $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ et $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$

Étape 17.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{2}} - 3$ .

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Étape 17.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}}) - 3}{x^{2}}$

Étape 17.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)}{x^{2}}$

Étape 17.4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{2}}$