Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x^{4} + 9}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x^{4} + 9$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.6

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + 0) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.7

Additionnez $12 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3}) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{x^{5} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Déplacez $12$ à gauche de $x^{5}$ .

$\frac{12 \cdot x^{5} - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{12 x^{5} - (3 x^{4} + 9) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4} + 9) x}{x^{4}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 x^{5} + (- 2 (3 x^{4}) - 2 \cdot 9) x}{x^{4}}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4}) x - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x \cdot x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 7.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x^{1} x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{1 + 4}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{5}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

Étape 7.3.2

Soustrayez $6 x^{5}$ de $12 x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

Étape 7.4

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{5} - 18 x$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{5}$ .

$\frac{6 x (x^{4}) - 18 x}{x^{4}}$

Étape 7.4.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 18 x$ .

$\frac{6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)}{x^{4}}$

Étape 7.4.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)$ .

$\frac{6 x (x^{4} - 3)}{x^{4}}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x (x^{4} - 3)$ .

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x^{4}}$

Étape 7.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 7.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 7.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (x^{4} - 3)}{x^{3}}$