Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(5 - 2 x)}^{- 3} + \frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(5 - 2 x)}^{- 3} + \frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = 5 - 2 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 - 2 x$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 2.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 2.7

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 2.8

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ .

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \frac{2}{x} + 1$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{2}{x} + 1$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{2}{x} + 1$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 (- x^{- 2}) + 0))$

Étape 3.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (- 2 x^{- 2} + 0))$

Étape 3.9

Additionnez $- 2 x^{- 2}$ et $0$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (- 2 x^{- 2}))$

Étape 3.10

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2})$

Étape 3.11

Associez $- 8$ et $\frac{1}{8}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8}{8} ({(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2})$

Étape 3.12

Associez ${(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ et $\frac{- 8}{8}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8}{8} x^{- 2}$

Étape 3.13

Associez $\frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8}{8}$ et $x^{- 2}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8 x^{- 2}}{8}$

Étape 3.14

Déplacez $- 8$ à gauche de ${(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8 \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2}}{8}$

Étape 3.15

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{8 x^{2}}$

Étape 3.16

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $8$ .

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Étape 3.16.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 x^{2}}$

Étape 3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.16.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{2}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 (x^{2})}$

Étape 3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 x^{2}}$

Étape 3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Étape 3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.1

Associez $6$ et $\frac{1}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Étape 5.1.2

Pour écrire $\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Étape 5.1.3

Pour écrire $- \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$

Étape 5.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(5 - 2 x)}^{4} x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(5 - 2 x)}^{4} x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $\frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$ par $\frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(5 - 2 x)}^{4} x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

Étape 5.1.4.3

Réorganisez les facteurs de ${(5 - 2 x)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

Étape 5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 x^{2} - {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x^{2} - {(5 - 2 x)}^{4} {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$