Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5 x - 2}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 x - 2$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 2] - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 + 0) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 5 - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$\frac{5 \cdot (x^{2} + 1) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - 2 (5 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 - 2 (5 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 + (- 2 (5 x) - 2 \cdot - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 - 2 (5 x) x - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 x) x - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 x^{2}) - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 10 x^{2} - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 10 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $10 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 5 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 5 x^{2} + 4 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{- (5 x^{2}) + 4 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - (- 4 x) + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x) + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.11

Réécrivez $- (5 x^{2} - 4 x - 5)$ comme $- 1 (5 x^{2} - 4 x - 5)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{2} - 4 x - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x^{2} - 4 x - 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$