Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{8 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{2 e^{x} + 1}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{2 e^{x} + 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 e^{x} + 1$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x} + 0)}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Additionnez $2 e^{x}$ et $0$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{x} e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $e^{x}$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 (e^{x} e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{x + x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 8

Associez $8$ et $\frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{8 ((2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (2 e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (2 e^{x} e^{x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.3.1.1.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{8 (2 (e^{x} e^{x})) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 (2 e^{x + x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9.3.1.1.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{8 (2 e^{2 x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9.3.1.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16 e^{2 x} + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9.3.1.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{16 e^{2 x} + 8 e^{x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{16 e^{2 x} + 8 e^{x} - 16 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9.3.2

Associez les termes opposés dans $16 e^{2 x} + 8 e^{x} - 16 e^{2 x}$ .

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Étape 9.3.2.1

Soustrayez $16 e^{2 x}$ de $16 e^{2 x}$ .

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9.3.2.2

Additionnez $8 e^{x}$ et $0$ .

$\frac{8 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$